Rezolvați -21x^2+77x=-30+18x

$$- 21 x ^ { 2 } + 77 x = - 30 + 18 x$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{6001} + 59}{42} \approx 3,249193372$$

$$x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42}\approx -0,439669563$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți -30 din ambele părți.

$$-21x^{2}+77x-\left(-30\right)=18x$$

Opusul lui -30 este 30.

$$-21x^{2}+77x+30=18x$$

Scădeți 18x din ambele părți.

$$-21x^{2}+77x+30-18x=0$$

Combinați 77x cu -18x pentru a obține 59x.

$$-21x^{2}+59x+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -21, b cu 59 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\left(-21\right)\times 30}}{2\left(-21\right)}$$

Ridicați 59 la pătrat.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\left(-21\right)\times 30}}{2\left(-21\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+84\times 30}}{2\left(-21\right)}$$

Înmulțiți 84 cu 30.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+2520}}{2\left(-21\right)}$$

Adunați 3481 cu 2520.

$$x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{2\left(-21\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{-42}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{-42} atunci când ± este plus. Adunați -59 cu \sqrt{6001}.

$$x=\frac{\sqrt{6001}-59}{-42}$$

Împărțiți -59+\sqrt{6001} la -42.

$$x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{-42} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{6001} din -59.

$$x=\frac{-\sqrt{6001}-59}{-42}$$

Împărțiți -59-\sqrt{6001} la -42.

$$x=\frac{\sqrt{6001}+59}{42}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42} x=\frac{\sqrt{6001}+59}{42}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 18x din ambele părți.

$$-21x^{2}+77x-18x=-30$$

Combinați 77x cu -18x pentru a obține 59x.

$$-21x^{2}+59x=-30$$

Se împart ambele părți la -21.

$$\frac{-21x^{2}+59x}{-21}=-\frac{30}{-21}$$

Împărțirea la -21 anulează înmulțirea cu -21.

$$x^{2}+\frac{59}{-21}x=-\frac{30}{-21}$$

Împărțiți 59 la -21.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x=-\frac{30}{-21}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{-21} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x=\frac{10}{7}$$

Împărțiți -\frac{59}{21}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{59}{42}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{59}{42} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x+\left(-\frac{59}{42}\right)^{2}=\frac{10}{7}+\left(-\frac{59}{42}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{59}{42} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x+\frac{3481}{1764}=\frac{10}{7}+\frac{3481}{1764}$$

Adunați \frac{10}{7} cu \frac{3481}{1764} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x+\frac{3481}{1764}=\frac{6001}{1764}$$

Factor x^{2}-\frac{59}{21}x+\frac{3481}{1764}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{42}\right)^{2}=\frac{6001}{1764}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{42}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6001}{1764}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{59}{42}=\frac{\sqrt{6001}}{42} x-\frac{59}{42}=-\frac{\sqrt{6001}}{42}$$

Adunați \frac{59}{42} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{6001}+59}{42} x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42}$$