Rezolvați -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3,283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2,283882181$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 2 și c cu 15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 4 cu 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{31} la -4.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{31} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{31} la -4.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

Împărțiți -15 la -2.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{15}{2} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$