Rezolvați (40-x)(20+2x)=1500

$$(40-x)(20+2x)=1500$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=15+5\sqrt{5}i\approx 15+11,180339887i$$

$$x=-5\sqrt{5}i+15\approx 15-11,180339887i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40-x cu 20+2x și a combina termenii similari.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Scădeți 1500 din ambele părți.

$$800+60x-2x^{2}-1500=0$$

Scădeți 1500 din 800 pentru a obține -700.

$$-700+60x-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+60x-700=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 60 și c cu -700 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 60 la pătrat.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-2\right)\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+8\left(-700\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -700.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-5600}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 3600 cu -5600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{-2000}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -2000.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -60 cu 20i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-60+20\sqrt{5}i}{-4}$$

Împărțiți -60+20i\sqrt{5} la -4.

$$x=-5\sqrt{5}i+15$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-60±20\sqrt{5}i}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 20i\sqrt{5} din -60.

$$x=\frac{-20\sqrt{5}i-60}{-4}$$

Împărțiți -60-20i\sqrt{5} la -4.

$$x=15+5\sqrt{5}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5\sqrt{5}i+15 x=15+5\sqrt{5}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 40-x cu 20+2x și a combina termenii similari.

$$800+60x-2x^{2}=1500$$

Scădeți 800 din ambele părți.

$$60x-2x^{2}=1500-800$$

Scădeți 800 din 1500 pentru a obține 700.

$$60x-2x^{2}=700$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+60x=700$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+60x}{-2}=\frac{700}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{60}{-2}x=\frac{700}{-2}$$

Împărțiți 60 la -2.

$$x^{2}-30x=\frac{700}{-2}$$

Împărțiți 700 la -2.

$$x^{2}-30x=-350$$

Împărțiți -30, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -15. Apoi, adunați pătratul lui -15 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-30x+\left(-15\right)^{2}=-350+\left(-15\right)^{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x^{2}-30x+225=-350+225$$

Adunați -350 cu 225.

$$x^{2}-30x+225=-125$$

Factor x^{2}-30x+225. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-15\right)^{2}=-125$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-15\right)^{2}}=\sqrt{-125}$$

Simplificați.

$$x-15=5\sqrt{5}i x-15=-5\sqrt{5}i$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$x=15+5\sqrt{5}i x=-5\sqrt{5}i+15$$