Rezolvați (2x-3)(x+1)-(x-2)<0

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-3 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Pentru a găsi opusul lui x-2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Combinați -x cu -x pentru a obține -2x.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Adunați -3 și 2 pentru a obține -1.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 2, b cu -2 și c cu -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} și x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} este pozitiv și x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} este negativ.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} este pozitiv și x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} este negativ.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$