Rezolvați (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 20-x cu 100+20x și a combina termenii similari.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Scădeți 2240 din ambele părți.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Scădeți 2240 din 2000 pentru a obține -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -20, b cu 300 și c cu -240 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Ridicați 300 la pătrat.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Înmulțiți 80 cu -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Adunați 90000 cu -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 70800.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} atunci când ± este plus. Adunați -300 cu 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Împărțiți -300+20\sqrt{177} la -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40} atunci când ± este minus. Scădeți 20\sqrt{177} din -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Împărțiți -300-20\sqrt{177} la -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 20-x cu 100+20x și a combina termenii similari.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Scădeți 2000 din ambele părți.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Scădeți 2000 din 2240 pentru a obține 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Se împart ambele părți la -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Împărțirea la -20 anulează înmulțirea cu -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Împărțiți 300 la -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Împărțiți 240 la -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Adunați -12 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Factor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$