Rezolvați (10-x)(200+50x)=1250

$$(10-x)(200+50x)=1250$$

Rezolvați pentru x

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10-x cu 200+50x și a combina termenii similari.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Scădeți 1250 din ambele părți.

$$2000+300x-50x^{2}-1250=0$$

Scădeți 1250 din 2000 pentru a obține 750.

$$750+300x-50x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-50x^{2}+300x+750=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -50, b cu 300 și c cu 750 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Ridicați 300 la pătrat.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -50.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+200\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Înmulțiți 200 cu 750.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+150000}}{2\left(-50\right)}$$

Adunați 90000 cu 150000.

$$x=\frac{-300±\sqrt{240000}}{2\left(-50\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 240000.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{2\left(-50\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -50.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100} atunci când ± este plus. Adunați -300 cu 200\sqrt{6}.

$$x=\frac{200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Împărțiți -300+200\sqrt{6} la -100.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100} atunci când ± este minus. Scădeți 200\sqrt{6} din -300.

$$x=\frac{-200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Împărțiți -300-200\sqrt{6} la -100.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3-2\sqrt{6} x=2\sqrt{6}+3$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10-x cu 200+50x și a combina termenii similari.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Scădeți 2000 din ambele părți.

$$300x-50x^{2}=1250-2000$$

Scădeți 2000 din 1250 pentru a obține -750.

$$300x-50x^{2}=-750$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-50x^{2}+300x=-750$$

Se împart ambele părți la -50.

$$\frac{-50x^{2}+300x}{-50}=-\frac{750}{-50}$$

Împărțirea la -50 anulează înmulțirea cu -50.

$$x^{2}+\frac{300}{-50}x=-\frac{750}{-50}$$

Împărțiți 300 la -50.

$$x^{2}-6x=-\frac{750}{-50}$$

Împărțiți -750 la -50.

$$x^{2}-6x=15$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Adunați 15 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Simplificați.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$