Rezolvați (x-6)^2=2x^2-15x+38

$$( x - 6 ) ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } - 15 x + 38$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-6\right)^{2}.

$$x^{2}-12x+36=2x^{2}-15x+38$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-12x+36-2x^{2}=-15x+38$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-12x+36=-15x+38$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$-x^{2}-12x+36+15x=38$$

Combinați -12x cu 15x pentru a obține 3x.

$$-x^{2}+3x+36=38$$

Scădeți 38 din ambele părți.

$$-x^{2}+3x+36-38=0$$

Scădeți 38 din 36 pentru a obține -2.

$$-x^{2}+3x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=2 b=1$$

Rescrieți -x^{2}+3x-2 ca \left(-x^{2}+2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(x-2\right)$$

Scoateți factorul comun -x din -x^{2}+2x.

$$-x\left(x-2\right)+x-2$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(-x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și -x+1=0.

$$x=2 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-6\right)^{2}.

$$x^{2}-12x+36=2x^{2}-15x+38$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-12x+36-2x^{2}=-15x+38$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-12x+36=-15x+38$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$-x^{2}-12x+36+15x=38$$

Combinați -12x cu 15x pentru a obține 3x.

$$-x^{2}+3x+36=38$$

Scădeți 38 din ambele părți.

$$-x^{2}+3x+36-38=0$$

Scădeți 38 din 36 pentru a obține -2.

$$-x^{2}+3x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu -8.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-3±1}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±1}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±1}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±1}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-6\right)^{2}.

$$x^{2}-12x+36=2x^{2}-15x+38$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$x^{2}-12x+36-2x^{2}=-15x+38$$

Combinați x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}-12x+36=-15x+38$$

Adăugați 15x la ambele părți.

$$-x^{2}-12x+36+15x=38$$

Combinați -12x cu 15x pentru a obține 3x.

$$-x^{2}+3x+36=38$$

Scădeți 36 din ambele părți.

$$-x^{2}+3x=38-36$$

Scădeți 36 din 38 pentru a obține 2.

$$-x^{2}+3x=2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=\frac{2}{-1}$$

Împărțiți 2 la -1.

$$x^{2}-3x=-2$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Adunați -2 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=1$$