Rezolvați (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Pașii soluției

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -6 și c cu 7.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\left(\sqrt{2}+3\right) și x-\left(3-\sqrt{2}\right) trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\left(\sqrt{2}+3\right) este pozitiv și x-\left(3-\sqrt{2}\right) este negativ.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\left(3-\sqrt{2}\right) este pozitiv și x-\left(\sqrt{2}+3\right) este negativ.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$