Rezolvați (x^2+3x-2)(x^2+3x+4)=16

$$( x ^ { 2 } + 3 x - 2 ) ( x ^ { 2 } + 3 x + 4 ) = 16$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=-4$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1,5+1,936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1,5-1,936491673i$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x-2 cu x^{2}+3x+4 și a combina termenii similari.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Scădeți 16 din -8 pentru a obține -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -24 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 la x-1 pentru a obține x^{3}+7x^{2}+18x+24. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 24 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-4$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+7x^{2}+18x+24 la x+4 pentru a obține x^{2}+3x+6. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 3 și c cu 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}+3x+6=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-4 x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=1$$

Pașii soluției

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x-2 cu x^{2}+3x+4 și a combina termenii similari.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-8-16=0$$

Scădeți 16 din -8 pentru a obține -24.

$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -24 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x-24 la x-1 pentru a obține x^{3}+7x^{2}+18x+24. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}+7x^{2}+18x+24=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 24 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-4$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}+7x^{2}+18x+24 la x+4 pentru a obține x^{2}+3x+6. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}+3x+6=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu 3 și c cu 6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=1 x=-4$$