Rezolvați (X+3)/(2X-1)-(5X-1)/(4X+7)=0

$$( X + 3 ) / ( 2 X - 1 ) - ( 5 X - 1 ) / ( 4 X + 7 ) = 0$$

Rezolvați pentru X

$$X=5$$

$$X=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila X nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{7}{4},\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(2X-1\right)\left(4X+7\right), cel mai mic multiplu comun al 2X-1,4X+7.

$$\left(4X+7\right)\left(X+3\right)-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4X+7 cu X+3 și a combina termenii similari.

$$4X^{2}+19X+21-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2X-1 cu 5X-1 și a combina termenii similari.

$$4X^{2}+19X+21-\left(10X^{2}-7X+1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 10X^{2}-7X+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4X^{2}+19X+21-10X^{2}+7X-1=0$$

Combinați 4X^{2} cu -10X^{2} pentru a obține -6X^{2}.

$$-6X^{2}+19X+21+7X-1=0$$

Combinați 19X cu 7X pentru a obține 26X.

$$-6X^{2}+26X+21-1=0$$

Scădeți 1 din 21 pentru a obține 20.

$$-6X^{2}+26X+20=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$-3X^{2}+13X+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3X^{2}+aX+bX+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-3\times 10=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=15 b=-2$$

Rescrieți -3X^{2}+13X+10 ca \left(-3X^{2}+15X\right)+\left(-2X+10\right).

$$\left(-3X^{2}+15X\right)+\left(-2X+10\right)$$

Factor 3X în primul și 2 în al doilea grup.

$$3X\left(-X+5\right)+2\left(-X+5\right)$$

Scoateți termenul comun -X+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-X+5\right)\left(3X+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -X+5=0 și 3X+2=0.

$$X=5 X=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila X nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{7}{4},\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(2X-1\right)\left(4X+7\right), cel mai mic multiplu comun al 2X-1,4X+7.

$$\left(4X+7\right)\left(X+3\right)-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4X+7 cu X+3 și a combina termenii similari.

$$4X^{2}+19X+21-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2X-1 cu 5X-1 și a combina termenii similari.

$$4X^{2}+19X+21-\left(10X^{2}-7X+1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 10X^{2}-7X+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4X^{2}+19X+21-10X^{2}+7X-1=0$$

Combinați 4X^{2} cu -10X^{2} pentru a obține -6X^{2}.

$$-6X^{2}+19X+21+7X-1=0$$

Combinați 19X cu 7X pentru a obține 26X.

$$-6X^{2}+26X+21-1=0$$

Scădeți 1 din 21 pentru a obține 20.

$$-6X^{2}+26X+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -6, b cu 26 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$X=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-6\right)\times 20}}{2\left(-6\right)}$$

Ridicați 26 la pătrat.

$$X=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-6\right)\times 20}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$X=\frac{-26±\sqrt{676+24\times 20}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 24 cu 20.

$$X=\frac{-26±\sqrt{676+480}}{2\left(-6\right)}$$

Adunați 676 cu 480.

$$X=\frac{-26±\sqrt{1156}}{2\left(-6\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1156.

$$X=\frac{-26±34}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -6.

$$X=\frac{-26±34}{-12}$$

Acum rezolvați ecuația X=\frac{-26±34}{-12} atunci când ± este plus. Adunați -26 cu 34.

$$X=\frac{8}{-12}$$

Reduceți fracția \frac{8}{-12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$X=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația X=\frac{-26±34}{-12} atunci când ± este minus. Scădeți 34 din -26.

$$X=-\frac{60}{-12}$$

Împărțiți -60 la -12.

$$X=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$X=-\frac{2}{3} X=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila X nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -\frac{7}{4},\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(2X-1\right)\left(4X+7\right), cel mai mic multiplu comun al 2X-1,4X+7.

$$\left(4X+7\right)\left(X+3\right)-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4X+7 cu X+3 și a combina termenii similari.

$$4X^{2}+19X+21-\left(2X-1\right)\left(5X-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2X-1 cu 5X-1 și a combina termenii similari.

$$4X^{2}+19X+21-\left(10X^{2}-7X+1\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 10X^{2}-7X+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4X^{2}+19X+21-10X^{2}+7X-1=0$$

Combinați 4X^{2} cu -10X^{2} pentru a obține -6X^{2}.

$$-6X^{2}+19X+21+7X-1=0$$

Combinați 19X cu 7X pentru a obține 26X.

$$-6X^{2}+26X+21-1=0$$

Scădeți 1 din 21 pentru a obține 20.

$$-6X^{2}+26X+20=0$$

Scădeți 20 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-6X^{2}+26X=-20$$

Se împart ambele părți la -6.

$$\frac{-6X^{2}+26X}{-6}=-\frac{20}{-6}$$

Împărțirea la -6 anulează înmulțirea cu -6.

$$X^{2}+\frac{26}{-6}X=-\frac{20}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{26}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X=-\frac{20}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X=\frac{10}{3}$$

Împărțiți -\frac{13}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X+\frac{169}{36}=\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Adunați \frac{10}{3} cu \frac{169}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$X^{2}-\frac{13}{3}X+\frac{169}{36}=\frac{289}{36}$$

Factor X^{2}-\frac{13}{3}X+\frac{169}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(X-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(X-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Simplificați.

$$X-\frac{13}{6}=\frac{17}{6} X-\frac{13}{6}=-\frac{17}{6}$$

Adunați \frac{13}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$X=5 X=-\frac{2}{3}$$