Rezolvați (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Adunați 81 și 162 pentru a obține 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Combinați -90x cu -180x pentru a obține -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Combinați 25x^{2} cu 50x^{2} pentru a obține 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Scădeți 24 din 243 pentru a obține 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 75, b cu -270 și c cu 219.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} și x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} este pozitiv și x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} este negativ.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} este pozitiv și x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} este negativ.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$