Rezolvați (4+2a)^2+(a+2)^2=16

$$( 4 + 2 a ) ^ { 2 } + ( a + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Rezolvați pentru a

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2\approx -0,211145618$$

$$a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2\approx -3,788854382$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4+2a\right)^{2}.

$$16+16a+4a^{2}+\left(a+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(a+2\right)^{2}.

$$16+16a+4a^{2}+a^{2}+4a+4=16$$

Combinați 4a^{2} cu a^{2} pentru a obține 5a^{2}.

$$16+16a+5a^{2}+4a+4=16$$

Combinați 16a cu 4a pentru a obține 20a.

$$16+20a+5a^{2}+4=16$$

Adunați 16 și 4 pentru a obține 20.

$$20+20a+5a^{2}=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$20+20a+5a^{2}-16=0$$

Scădeți 16 din 20 pentru a obține 4.

$$4+20a+5a^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5a^{2}+20a+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 20 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-20\times 4}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 4.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-80}}{2\times 5}$$

Adunați 400 cu -80.

$$a=\frac{-20±\sqrt{320}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 320.

$$a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{10} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 8\sqrt{5}.

$$a=\frac{8\sqrt{5}-20}{10}$$

Împărțiți -20+8\sqrt{5} la 10.

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-20±8\sqrt{5}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{5} din -20.

$$a=\frac{-8\sqrt{5}-20}{10}$$

Împărțiți -20-8\sqrt{5} la 10.

$$a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2 a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4+2a\right)^{2}.

$$16+16a+4a^{2}+\left(a+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(a+2\right)^{2}.

$$16+16a+4a^{2}+a^{2}+4a+4=16$$

Combinați 4a^{2} cu a^{2} pentru a obține 5a^{2}.

$$16+16a+5a^{2}+4a+4=16$$

Combinați 16a cu 4a pentru a obține 20a.

$$16+20a+5a^{2}+4=16$$

Adunați 16 și 4 pentru a obține 20.

$$20+20a+5a^{2}=16$$

Scădeți 20 din ambele părți.

$$20a+5a^{2}=16-20$$

Scădeți 20 din 16 pentru a obține -4.

$$20a+5a^{2}=-4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5a^{2}+20a=-4$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5a^{2}+20a}{5}=-\frac{4}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$a^{2}+\frac{20}{5}a=-\frac{4}{5}$$

Împărțiți 20 la 5.

$$a^{2}+4a=-\frac{4}{5}$$

Împărțiți 4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 2. Apoi, adunați pătratul lui 2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}+4a+2^{2}=-\frac{4}{5}+2^{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$a^{2}+4a+4=-\frac{4}{5}+4$$

Adunați -\frac{4}{5} cu 4.

$$a^{2}+4a+4=\frac{16}{5}$$

Factor a^{2}+4a+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+2\right)^{2}=\frac{16}{5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{5}}$$

Simplificați.

$$a+2=\frac{4\sqrt{5}}{5} a+2=-\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{4\sqrt{5}}{5}-2 a=-\frac{4\sqrt{5}}{5}-2$$