Rezolvați (32-2x)(20-x)=57

$$( 32 - 2 x ) ( 20 - x ) = 57$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{130}}{2}+18\approx 23,700877125$$

$$x=-\frac{\sqrt{130}}{2}+18\approx 12,299122875$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 32-2x cu 20-x și a combina termenii similari.

$$640-72x+2x^{2}=57$$

Scădeți 57 din ambele părți.

$$640-72x+2x^{2}-57=0$$

Scădeți 57 din 640 pentru a obține 583.

$$583-72x+2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-72x+583=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -72 și c cu 583 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 2\times 583}}{2\times 2}$$

Ridicați -72 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 2\times 583}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-8\times 583}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 583.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4664}}{2\times 2}$$

Adunați 5184 cu -4664.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{520}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 520.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±2\sqrt{130}}{2\times 2}$$

Opusul lui -72 este 72.

$$x=\frac{72±2\sqrt{130}}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{72±2\sqrt{130}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{72±2\sqrt{130}}{4} atunci când ± este plus. Adunați 72 cu 2\sqrt{130}.

$$x=\frac{2\sqrt{130}+72}{4}$$

Împărțiți 72+2\sqrt{130} la 4.

$$x=\frac{\sqrt{130}}{2}+18$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{72±2\sqrt{130}}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{130} din 72.

$$x=\frac{72-2\sqrt{130}}{4}$$

Împărțiți 72-2\sqrt{130} la 4.

$$x=-\frac{\sqrt{130}}{2}+18$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{130}}{2}+18 x=-\frac{\sqrt{130}}{2}+18$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 32-2x cu 20-x și a combina termenii similari.

$$640-72x+2x^{2}=57$$

Scădeți 640 din ambele părți.

$$-72x+2x^{2}=57-640$$

Scădeți 640 din 57 pentru a obține -583.

$$-72x+2x^{2}=-583$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-72x=-583$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-72x}{2}=-\frac{583}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{72}{2}\right)x=-\frac{583}{2}$$

Împărțiți -72 la 2.

$$x^{2}-36x=-\frac{583}{2}$$

Împărțiți -36, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -18. Apoi, adunați pătratul lui -18 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-36x+\left(-18\right)^{2}=-\frac{583}{2}+\left(-18\right)^{2}$$

Ridicați -18 la pătrat.

$$x^{2}-36x+324=-\frac{583}{2}+324$$

Adunați -\frac{583}{2} cu 324.

$$x^{2}-36x+324=\frac{65}{2}$$

Factor x^{2}-36x+324. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-18\right)^{2}=\frac{65}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-18\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{2}}$$

Simplificați.

$$x-18=\frac{\sqrt{130}}{2} x-18=-\frac{\sqrt{130}}{2}$$

Adunați 18 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{130}}{2}+18 x=-\frac{\sqrt{130}}{2}+18$$