Rezolvați (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Adăugați x la ambele părți.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5x-5 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combinați 9x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Adunați 1 și 5 pentru a obține 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Scădeți 8 din 6 pentru a obține -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combinați 6x cu x pentru a obține 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-1 b=8$$

Rescrieți 4x^{2}+7x-2 ca \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-1=0 și x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Adăugați x la ambele părți.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5x-5 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combinați 9x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Adunați 1 și 5 pentru a obține 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Scădeți 8 din 6 pentru a obține -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combinați 6x cu x pentru a obține 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 7 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Adunați 49 cu 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±9}{8} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Reduceți fracția \frac{2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±9}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Împărțiți -16 la 8.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Adăugați x la ambele părți.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5x-5 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Combinați 9x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

Adunați 1 și 5 pentru a obține 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Combinați 6x cu x pentru a obține 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Scădeți 6 din 8 pentru a obține 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți \frac{7}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{49}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Scădeți \frac{7}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$