Rezolvați (2x-3)(3x-1)-(x+3)(x-2)=6x

$$( 2 x - 3 ) ( 3 x - 1 ) - ( x + 3 ) ( x - 2 ) = 6 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-3 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-11x+3-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=6x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-11x+3-\left(x^{2}+x-6\right)=6x$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+x-6, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x^{2}-11x+3-x^{2}-x+6=6x$$

Combinați 6x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-11x+3-x+6=6x$$

Combinați -11x cu -x pentru a obține -12x.

$$5x^{2}-12x+3+6=6x$$

Adunați 3 și 6 pentru a obține 9.

$$5x^{2}-12x+9=6x$$

Scădeți 6x din ambele părți.

$$5x^{2}-12x+9-6x=0$$

Combinați -12x cu -6x pentru a obține -18x.

$$5x^{2}-18x+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-18 ab=5\times 9=45$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Soluția este perechea care dă suma de -18.

$$a=-15 b=-3$$

Rescrieți 5x^{2}-18x+9 ca \left(5x^{2}-15x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Factor 5x în primul și -3 în al doilea grup.

$$5x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(5x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 5x-3=0.

$$x=3 x=\frac{3}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-3 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-11x+3-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=6x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-11x+3-\left(x^{2}+x-6\right)=6x$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+x-6, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x^{2}-11x+3-x^{2}-x+6=6x$$

Combinați 6x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-11x+3-x+6=6x$$

Combinați -11x cu -x pentru a obține -12x.

$$5x^{2}-12x+3+6=6x$$

Adunați 3 și 6 pentru a obține 9.

$$5x^{2}-12x+9=6x$$

Scădeți 6x din ambele părți.

$$5x^{2}-12x+9-6x=0$$

Combinați -12x cu -6x pentru a obține -18x.

$$5x^{2}-18x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -18 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Ridicați -18 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-20\times 9}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-180}}{2\times 5}$$

Adunați 324 cu -180.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±12}{2\times 5}$$

Opusul lui -18 este 18.

$$x=\frac{18±12}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{18±12}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±12}{10} atunci când ± este plus. Adunați 18 cu 12.

$$x=\frac{30}{10}$$

Împărțiți 30 la 10.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±12}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 18.

$$x=\frac{6}{10}$$

Reduceți fracția \frac{6}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=\frac{3}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-3 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-11x+3-\left(x+3\right)\left(x-2\right)=6x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$6x^{2}-11x+3-\left(x^{2}+x-6\right)=6x$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+x-6, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x^{2}-11x+3-x^{2}-x+6=6x$$

Combinați 6x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}-11x+3-x+6=6x$$

Combinați -11x cu -x pentru a obține -12x.

$$5x^{2}-12x+3+6=6x$$

Adunați 3 și 6 pentru a obține 9.

$$5x^{2}-12x+9=6x$$

Scădeți 6x din ambele părți.

$$5x^{2}-12x+9-6x=0$$

Combinați -12x cu -6x pentru a obține -18x.

$$5x^{2}-18x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$5x^{2}-18x=-9$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-18x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Împărțiți -\frac{18}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{9}{5}+\frac{81}{25}$$

Adunați -\frac{9}{5} cu \frac{81}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{36}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{6}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{6}{5}$$

Adunați \frac{9}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=\frac{3}{5}$$