Rezolvați (2x^2+x)^2-6x^2-3x+2=0

$$( 2 x ^ { 2 } + x ) ^ { 2 } - 6 x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\approx 0,780776406$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\approx -1,280776406$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Pașii soluției

Simplificați.

$$4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 2 și q împarte coeficientul inițial 4. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 4x^{4}+4x^{3}-5x^{2}-3x+2 la x+1 pentru a obține 4x^{3}-5x+2. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$4x^{3}-5x+2=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 2 și q împarte coeficientul inițial 4. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1,±2,±\frac{1}{4}$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=\frac{1}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 4x^{3}-5x+2 la 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 pentru a obține 2x^{2}+x-2. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$2x^{2}+x-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 2, b cu 1 și c cu -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$$

Rezolvați ecuația 2x^{2}+x-2=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=-1 x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$