Rezolvați (2x+5)^2=(x+2)^2

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Combinați 20x cu -4x pentru a obține 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Scădeți 4 din 25 pentru a obține 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=3\times 21=63$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 63.

$$1,63 3,21 7,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=7 b=9$$

Rescrieți 3x^{2}+16x+21 ca \left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right).

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(3x+7\right)+3\left(3x+7\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+7\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+7=0 și x+3=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Combinați 20x cu -4x pentru a obține 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Scădeți 4 din 25 pentru a obține 21.

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 16 și c cu 21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 21}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 21.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\times 3}$$

Adunați 256 cu -252.

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-16±2}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-16±2}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±2}{6} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 2.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-16±2}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din -16.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Împărțiți -18 la 6.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Combinați 20x cu -4x pentru a obține 16x.

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$3x^{2}+16x=4-25$$

Scădeți 25 din 4 pentru a obține -21.

$$3x^{2}+16x=-21$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{21}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{21}{3}$$

Împărțiți -21 la 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-7$$

Împărțiți \frac{16}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{8}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{8}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-7+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{8}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-7+\frac{64}{9}$$

Adunați -7 cu \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$$

Scădeți \frac{8}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$