Rezolvați (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combinați 4x cu 10x pentru a obține 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Scădeți 25 din 1 pentru a obține -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=-4 b=18$$

Rescrieți 3x^{2}+14x-24 ca \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-4=0 și x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combinați 4x cu 10x pentru a obține 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Scădeți 25 din ambele părți.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Scădeți 25 din 1 pentru a obține -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 14 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Adunați 196 cu 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±22}{6} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±22}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 22 din -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Împărțiți -36 la 6.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combinați 4x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Adăugați 10x la ambele părți.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combinați 4x cu 10x pentru a obține 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Scădeți 1 din 25 pentru a obține 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Împărțiți 24 la 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Împărțiți \frac{14}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Adunați 8 cu \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Scădeți \frac{7}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$