Rezolvați (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Rezolvați pentru k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Scădeți 12 din 9 pentru a obține -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Combinați -12k cu 8k pentru a obține -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu -4 și c cu -3.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Rezolvați ecuația k=\frac{4±8}{8} când ± este plus și când ± este minus.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, k-\frac{3}{2} și k+\frac{1}{2} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care k-\frac{3}{2} este pozitiv și k+\frac{1}{2} este negativ.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Este fals pentru orice k.

$$k\in \emptyset$$

Tratați cazul în care k+\frac{1}{2} este pozitiv și k-\frac{3}{2} este negativ.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$