Rezolvați (15-x)(5x+500)=4250

$$( 15 - x ) ( 5 x + 500 ) = 4250$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5 \sqrt{393} - 85}{2} \approx 7,060569004$$

$$x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2}\approx -92,060569004$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-x cu 5x+500 și a combina termenii similari.

$$-425x+7500-5x^{2}=4250$$

Scădeți 4250 din ambele părți.

$$-425x+7500-5x^{2}-4250=0$$

Scădeți 4250 din 7500 pentru a obține 3250.

$$-425x+3250-5x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5x^{2}-425x+3250=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu -425 și c cu 3250 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{\left(-425\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 3250}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați -425 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{180625-4\left(-5\right)\times 3250}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{180625+20\times 3250}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu 3250.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{180625+65000}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 180625 cu 65000.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±\sqrt{245625}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 245625.

$$x=\frac{-\left(-425\right)±25\sqrt{393}}{2\left(-5\right)}$$

Opusul lui -425 este 425.

$$x=\frac{425±25\sqrt{393}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{425±25\sqrt{393}}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{425±25\sqrt{393}}{-10} atunci când ± este plus. Adunați 425 cu 25\sqrt{393}.

$$x=\frac{25\sqrt{393}+425}{-10}$$

Împărțiți 425+25\sqrt{393} la -10.

$$x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{425±25\sqrt{393}}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 25\sqrt{393} din 425.

$$x=\frac{425-25\sqrt{393}}{-10}$$

Împărțiți 425-25\sqrt{393} la -10.

$$x=\frac{5\sqrt{393}-85}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2} x=\frac{5\sqrt{393}-85}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15-x cu 5x+500 și a combina termenii similari.

$$-425x+7500-5x^{2}=4250$$

Scădeți 7500 din ambele părți.

$$-425x-5x^{2}=4250-7500$$

Scădeți 7500 din 4250 pentru a obține -3250.

$$-425x-5x^{2}=-3250$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}-425x=-3250$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}-425x}{-5}=-\frac{3250}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\left(-\frac{425}{-5}\right)x=-\frac{3250}{-5}$$

Împărțiți -425 la -5.

$$x^{2}+85x=-\frac{3250}{-5}$$

Împărțiți -3250 la -5.

$$x^{2}+85x=650$$

Împărțiți 85, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{85}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{85}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+85x+\left(\frac{85}{2}\right)^{2}=650+\left(\frac{85}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{85}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+85x+\frac{7225}{4}=650+\frac{7225}{4}$$

Adunați 650 cu \frac{7225}{4}.

$$x^{2}+85x+\frac{7225}{4}=\frac{9825}{4}$$

Factor x^{2}+85x+\frac{7225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{85}{2}\right)^{2}=\frac{9825}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{85}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9825}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{85}{2}=\frac{5\sqrt{393}}{2} x+\frac{85}{2}=-\frac{5\sqrt{393}}{2}$$

Scădeți \frac{85}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5\sqrt{393}-85}{2} x=\frac{-5\sqrt{393}-85}{2}$$