Rezolvați (1)(3x+2)^2=16

$$( 1 ) ( 3 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$3x^{2}+4x-4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=-2 b=6$$

Rescrieți 3x^{2}+4x-4 ca \left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-2=0 și x+2=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Se împart ambele părți la 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Scădeți 16 din 4 pentru a obține -12.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 12 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+432}}{2\times 9}$$

Adunați 144 cu 432.

$$x=\frac{-12±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 576.

$$x=\frac{-12±24}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-12±24}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±24}{18} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 24.

$$x=\frac{12}{18}$$

Reduceți fracția \frac{12}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±24}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 24 din -12.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Împărțiți -36 la 18.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Se împart ambele părți la 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+2\right)^{2}.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$9x^{2}+12x=16-4$$

Scădeți 4 din 16 pentru a obține 12.

$$9x^{2}+12x=12$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{12}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{12}{9}$$

Reduceți fracția \frac{12}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{12}{9}$$

Reduceți fracția \frac{12}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$$

Împărțiți \frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați \frac{4}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

Scădeți \frac{2}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$