Rezolvați z^2-25*10^-12z+16*10^-12=0

$${ z }^{ 2 } -25 \times { 10 }^{ -12 } z+16 \times { 10 }^{ -12 } = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}+0,000004i$$

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}-0,000004i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -\frac{1}{40000000000} și c cu \frac{1}{62500000000} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{40000000000}\right)^{2}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Ridicați -\frac{1}{40000000000} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu \frac{1}{62500000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-\frac{1}{15625000000}}}{2}$$

Adunați \frac{1}{1600000000000000000000} cu -\frac{1}{15625000000} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{-\frac{102399999999}{1600000000000000000000}}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -\frac{102399999999}{1600000000000000000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Opusul lui -\frac{1}{40000000000} este \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} atunci când ± este plus. Adunați \frac{1}{40000000000} cu \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000}.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{2\times 40000000000}$$

Împărțiți \frac{1+i\sqrt{102399999999}}{40000000000} la 2.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} din \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{2\times 40000000000}$$

Împărțiți \frac{1-i\sqrt{102399999999}}{40000000000} la 2.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Scădeți \frac{1}{62500000000} din ambele părți ale ecuației.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}-\frac{1}{62500000000}=-\frac{1}{62500000000}$$

Scăderea \frac{1}{62500000000} din el însuși are ca rezultat 0.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z=-\frac{1}{62500000000}$$

Împărțiți -\frac{1}{40000000000}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{80000000000}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{80000000000} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{1}{62500000000}+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{80000000000} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{1}{62500000000}+\frac{1}{6400000000000000000000}$$

Adunați -\frac{1}{62500000000} cu \frac{1}{6400000000000000000000} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Factor z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}}$$

Simplificați.

$$z-\frac{1}{80000000000}=\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z-\frac{1}{80000000000}=-\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Adunați \frac{1}{80000000000} la ambele părți ale ecuației.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$