Rezolvați y^2+y-30=0

$${ y }^{ 2 } +y-30 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=-6$$

$$y=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul y^{2}+y-30 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-5 b=6$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-5\right)\left(y+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-5=0 și y+6=0.

$$y=5 y=-6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by-30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-5 b=6$$

Rescrieți y^{2}+y-30 ca \left(y^{2}-5y\right)+\left(6y-30\right).

$$\left(y^{2}-5y\right)+\left(6y-30\right)$$

Factor y în primul și 6 în al doilea grup.

$$y\left(y-5\right)+6\left(y-5\right)$$

Scoateți termenul comun y-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-5\right)\left(y+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-5=0 și y+6=0.

$$y=5 y=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}+y-30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu -30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -30.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2}$$

Adunați 1 cu 120.

$$y=\frac{-1±\sqrt{121}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$y=\frac{-1±11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±11}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 11.

$$y=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$y=5$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-1±11}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -1.

$$y=-\frac{12}{2}$$

Împărțiți -12 la 2.

$$y=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=5 y=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+y-30=0$$

Adunați 30 la ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}+y-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Scăderea -30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}+y=-\left(-30\right)$$

Scădeți -30 din 0.

$$y^{2}+y=30$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Adunați 30 cu \frac{1}{4}.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor y^{2}+y+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$y=5 y=-6$$