Rezolvați x^4-10x^3-62x^2-78x-27=0

$${ x }^{ 4 } -10 { x }^{ 3 } -62 { x }^{ 2 } -78x-27 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{58}+7\approx 14,615773106$$

$$x=7-\sqrt{58}\approx -0,615773106$$

$$x=-1$$

$$x=-3$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -27 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-1$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{4}-10x^{3}-62x^{2}-78x-27 la x+1 pentru a obține x^{3}-11x^{2}-51x-27. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{3}-11x^{2}-51x-27=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -27 și q împarte coeficientul inițial 1. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-3$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți x^{3}-11x^{2}-51x-27 la x+3 pentru a obține x^{2}-14x-9. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$x^{2}-14x-9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 1, b cu -14 și c cu -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{14±2\sqrt{58}}{2}$$

Rezolvați ecuația x^{2}-14x-9=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=7-\sqrt{58} x=\sqrt{58}+7$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=-1 x=-3 x=7-\sqrt{58} x=\sqrt{58}+7$$