Rezolvați x^2-x-5=6

$${ x }^{ 2 } -x-5 = 6$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 1}{2} \approx 3,854101966$$

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}\approx -2,854101966$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-x-5=6$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-x-5-6=6-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-x-5-6=0$$

Scădeți 6 din -5.

$$x^{2}-x-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-11\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -11.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+44}}{2}$$

Adunați 1 cu 44.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 45.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{5} din 1.

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-5=6$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-x-5-\left(-5\right)=6-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-x=6-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 6.

$$x^{2}-x=11$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=11+\frac{1}{4}$$

Adunați 11 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{45}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$