Rezolvați x^2+2{left(sqrt{2}div2x-2sqrt{2}right)}^2=8

$${ x }^{ 2 } +2 { \left( \sqrt{ 2 } \div 2x-2 \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } =8$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Exprimați \frac{\sqrt{2}}{2}x ca fracție unică.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pentru a ridica \frac{\sqrt{2}x}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 4 și 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Înmulțiți 4 cu 2 pentru a obține 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Extindeți \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Împărțiți 2x^{2} la 4 pentru a obține \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{2} pentru a obține 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Înmulțiți -4 cu 2 pentru a obține -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Scădeți 8 din 16 pentru a obține 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=1\times 4=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-2 b=-2$$

Rescrieți x^{2}-4x+4 ca \left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factor x în primul și -2 în al doilea grup.

$$x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(x-2\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați x-2=0.

$$x=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Exprimați \frac{\sqrt{2}}{2}x ca fracție unică.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pentru a ridica \frac{\sqrt{2}x}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 4 și 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Înmulțiți 4 cu 2 pentru a obține 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Extindeți \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Împărțiți 2x^{2} la 4 pentru a obține \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{2} pentru a obține 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Înmulțiți -4 cu 2 pentru a obține -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Scădeți 8 din 16 pentru a obține 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -8 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 8}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64}}{2\times 2}$$

Adunați 64 cu -64.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-8}{2\times 2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{8}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Exprimați \frac{\sqrt{2}}{2}x ca fracție unică.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pentru a ridica \frac{\sqrt{2}x}{2} la o putere, ridicați atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere, apoi împărțiți.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 4 și 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Înmulțiți 4 cu 2 pentru a obține 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Extindeți \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Împărțiți 2x^{2} la 4 pentru a obține \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Înmulțiți 2 cu \frac{1}{2} pentru a obține 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Înmulțiți -4 cu 2 pentru a obține -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Scădeți 16 din ambele părți.

$$2x^{2}-8x=8-16$$

Scădeți 16 din 8 pentru a obține -8.

$$2x^{2}-8x=-8$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=-\frac{8}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x^{2}-4x=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$x^{2}-4x=-4$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=-4+4$$

Adunați -4 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-2=0 x-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=2$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=2$$