Rezolvați left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combinați 2x cu 4x pentru a obține 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Scădeți x din ambele părți.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combinați 6x cu -x pentru a obține 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Scădeți 12 din 5 pentru a obține -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-2 b=7$$

Rescrieți 2x^{2}+5x-7 ca \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Factor 2x în primul și 7 în al doilea grup.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combinați 2x cu 4x pentru a obține 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Scădeți x din ambele părți.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combinați 6x cu -x pentru a obține 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Scădeți 12 din 5 pentru a obține -7.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±9}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±9}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Combinați 2x cu 4x pentru a obține 6x.

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Scădeți x din ambele părți.

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Combinați 6x cu -x pentru a obține 5x.

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Scădeți 5 din 12 pentru a obține 7.

$$2x^{2}+5x=7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{7}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$