Rezolvați left(3x+5right)^2+5left(3x+5right)+6=0

$${ \left(3x+5 \right) }^{ 2 } +5 \left( 3x+5 \right) +6=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Combinați 30x cu 15x pentru a obține 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Adunați 25 și 25 pentru a obține 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Adunați 50 și 6 pentru a obține 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9x^{2}+ax+bx+56. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=45 ab=9\times 56=504$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 504.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

Soluția este perechea care dă suma de 45.

$$a=21 b=24$$

Rescrieți 9x^{2}+45x+56 ca \left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right)$$

Factor 3x în primul și 8 în al doilea grup.

$$3x\left(3x+7\right)+8\left(3x+7\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+7=0 și 3x+8=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Combinați 30x cu 15x pentru a obține 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Adunați 25 și 25 pentru a obține 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Adunați 50 și 6 pentru a obține 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 45 și c cu 56 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Ridicați 45 la pătrat.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-36\times 56}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 56.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-2016}}{2\times 9}$$

Adunați 2025 cu -2016.

$$x=\frac{-45±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-45±3}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-45±3}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-45±3}{18} atunci când ± este plus. Adunați -45 cu 3.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-45±3}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din -45.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-48}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Combinați 30x cu 15x pentru a obține 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Adunați 25 și 25 pentru a obține 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Adunați 50 și 6 pentru a obține 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Scădeți 56 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$9x^{2}+45x=-56$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+45x}{9}=-\frac{56}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{45}{9}x=-\frac{56}{9}$$

Împărțiți 45 la 9.

$$x^{2}+5x=-\frac{56}{9}$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{56}{9}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{56}{9}+\frac{25}{4}$$

Adunați -\frac{56}{9} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{36}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{6}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$