Rezolvați left(3x+1right)^2=-2x

$${ \left(3x+1 \right) }^{ 2 } =-2x$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,150472077$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}\approx -0,738416812$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Combinați 6x cu 2x pentru a obține 8x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu 8 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 9}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-36}}{2\times 9}$$

Adunați 64 cu -36.

$$x=\frac{-8±\sqrt{28}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-8}{18}$$

Împărțiți -8+2\sqrt{7} la 18.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±2\sqrt{7}}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-8}{18}$$

Împărțiți -8-2\sqrt{7} la 18.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$9x^{2}+6x+1+2x=0$$

Combinați 6x cu 2x pentru a obține 8x.

$$9x^{2}+8x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$9x^{2}+8x=-1$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}+8x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Împărțiți \frac{8}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{9}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{9} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{9} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{16}{81}$$

Adunați -\frac{1}{9} cu \frac{16}{81} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{7}{81}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x+\frac{4}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Scădeți \frac{4}{9} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{7}-4}{9} x=\frac{-\sqrt{7}-4}{9}$$