Rezolvați left(3xright)^2-13x+4=0

$${ \left(3x \right) }^{ 2 } -13x+4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Extindeți \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-13x+4=0$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$9x^{2}-13x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-13 ab=9\times 4=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -13.

$$a=-9 b=-4$$

Rescrieți 9x^{2}-13x+4 ca \left(9x^{2}-9x\right)+\left(-4x+4\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(-4x+4\right)$$

Factor 9x în primul și -4 în al doilea grup.

$$9x\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(9x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 9x-4=0.

$$x=1 x=\frac{4}{9}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Extindeți \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-13x+4=0$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$9x^{2}-13x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -13 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-36\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-144}}{2\times 9}$$

Adunați 169 cu -144.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{25}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±5}{2\times 9}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$x=\frac{13±5}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{13±5}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±5}{18} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu 5.

$$x=\frac{18}{18}$$

Împărțiți 18 la 18.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{13±5}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 13.

$$x=\frac{8}{18}$$

Reduceți fracția \frac{8}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{4}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Extindeți \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-13x+4=0$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$9x^{2}-13x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$9x^{2}-13x=-4$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-13x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Împărțiți -\frac{13}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{18}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{18} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x+\left(-\frac{13}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{13}{18}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{18} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x+\frac{169}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{169}{324}$$

Adunați -\frac{4}{9} cu \frac{169}{324} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{13}{9}x+\frac{169}{324}=\frac{25}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{13}{9}x+\frac{169}{324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{18}\right)^{2}=\frac{25}{324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{324}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{13}{18}=\frac{5}{18} x-\frac{13}{18}=-\frac{5}{18}$$

Adunați \frac{13}{18} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{4}{9}$$