Rezolvați sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=sqrt{x^4+2{x}^2}

$$\sqrt{ { x }^{ 4 } +8 { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -1 } = \sqrt{ { x }^{ 4 } +2 { x }^{ 2 } }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\approx -0,25-0,433012702i$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\approx -0,25+0,433012702i$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} la puterea 2 și obțineți x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{4}+2x^{2}} la puterea 2 și obțineți x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Scădeți x^{4} din ambele părți.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Combinați x^{4} cu -x^{4} pentru a obține 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Combinați 2x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -1 și q împarte coeficientul inițial 8. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=\frac{1}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 8x^{3}-1 la 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 pentru a obține 4x^{2}+2x+1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu 2 și c cu 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Rezolvați ecuația 4x^{2}+2x+1=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{1}{2} în ecuația \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{1}{2} corespunde ecuației.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{-\sqrt{3}i-1}{4} în ecuația \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} corespunde ecuației.

$$\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} în ecuația \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4} corespunde ecuației.

$$\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pașii soluției

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} la puterea 2 și obțineți x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{x^{4}+2x^{2}} la puterea 2 și obțineți x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Scădeți x^{4} din ambele părți.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Combinați x^{4} cu -x^{4} pentru a obține 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Combinați 2x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -1 și q împarte coeficientul inițial 8. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=\frac{1}{2}$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 8x^{3}-1 la 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 pentru a obține 4x^{2}+2x+1. Rezolvați ecuația unde rezultatul este egal cu 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu 2 și c cu 1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Pentru că rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită în câmpul real, nu există soluții.

$$x\in \emptyset$$

Listați toate soluțiile găsite.

$$x=\frac{1}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{1}{2} în ecuația \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{1}{2} corespunde ecuației.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Ecuația \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} are o soluție unică.

$$x=\frac{1}{2}$$