Rezolvați sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

$$x=1$$

Pașii soluției

Scădeți -\sqrt{2x-1} din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{3x+1} la puterea 2 și obțineți 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-1} la puterea 2 și obțineți 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Scădeți 1 din 1 pentru a obține 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Scădeți 2x din ambele părți ale ecuației.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Combinați 3x cu -2x pentru a obține x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Extindeți \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-1} la puterea 2 și obțineți 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Scădeți 8x din ambele părți.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Combinați 2x cu -8x pentru a obține -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-6x+5 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=5$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-5 b=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Înlocuiți x cu 5 în ecuația \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Simplificați. Valoarea x=5 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Înlocuiți x cu 1 în ecuația \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Simplificați. Valoarea x=1 corespunde ecuației.

$$1=1$$

Enumerați toate soluțiile ecuației \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$