Rezolvați sqrt{2x+7}-3x+1=x-1

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1,272363543$$

Pașii soluției

Scădeți -3x+1 din ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui -3x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

Opusul lui -3x este 3x.

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

Combinați x cu 3x pentru a obține 4x.

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

Scădeți 1 din -1 pentru a obține -2.

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x+7} la puterea 2 și obțineți 2x+7.

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4x-2\right)^{2}.

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

Scădeți 16x^{2} din ambele părți.

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

Adăugați 16x la ambele părți.

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

Combinați 2x cu 16x pentru a obține 18x.

$$18x+7-16x^{2}=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

Scădeți 4 din 7 pentru a obține 3.

$$18x+3-16x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -16, b cu 18 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu 3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 324 cu 192.

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 516.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 2\sqrt{129}.

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Împărțiți -18+2\sqrt{129} la -32.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{129} din -18.

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

Împărțiți -18-2\sqrt{129} la -32.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

Înlocuiți x cu \frac{9-\sqrt{129}}{16} în ecuația \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} nu respectă ecuația, deoarece partea stângă și a semnului din dreapta au semne opuse.

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

Înlocuiți x cu \frac{\sqrt{129}+9}{16} în ecuația \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

Simplificați. Valoarea x=\frac{\sqrt{129}+9}{16} corespunde ecuației.

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

Ecuația \sqrt{2x+7}=4x-2 are o soluție unică.

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$