Rezolvați {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați y la ambele părți.

$$x+y=0$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x+y=0$$

Scădeți y din ambele părți ale ecuației.

$$x=-y$$

Înlocuiți x cu -y în cealaltă ecuație, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Înmulțiți 2 cu -y.

$$-2y+y=5$$

Adunați -2y cu y.

$$-y=5$$

Se împart ambele părți la -1.

$$y=-5$$

Înlocuiți y cu -5 în x=-y. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\left(-5\right)$$

Înmulțiți -1 cu -5.

$$x=5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=5,y=-5$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați y la ambele părți.

$$x+y=0$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=5,y=-5$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Adăugați y la ambele părți.

$$x+y=0$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Scădeți pe 2x+y=5 din x+y=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$x-2x+y-y=-5$$

Adunați y cu -y. Termenii y și -y se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$x-2x=-5$$

Adunați x cu -2x.

$$-x=-5$$

Se împart ambele părți la -1.

$$x=5$$

Înlocuiți x cu 5 în 2x+y=5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, y se poate rezolva direct.

$$2\times 5+y=5$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$10+y=5$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$y=-5$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=5,y=-5$$