Rezolvați ∫ (from 2 to 4) of (3x^2-8x+2) wrt x

$$\int _ { 2 } ^ { 4 } ( 3 x ^ { 2 } - 8 x + 2 ) d x$$

Evaluați

$$12$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 3x^{2}-8x+2\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 3x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$3\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 3 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{3}-8\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -8 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{3}-4x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 2 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x^{3}-4x^{2}+2x$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$4^{3}-4\times 4^{2}+2\times 4-\left(2^{3}-4\times 2^{2}+2\times 2\right)$$

Simplificați.

$$12$$