Rezolvați ∫ (from 1 to 8) of (1/sqrt[3]{x}-3x^15) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 8 } ( \frac { 1 } { \sqrt[ 3 ] { x } } - 3 x ^ { 15 } ) d x$$

Evaluați

$$-\frac{844424930131893}{16}=-5,277655813 \cdot 10^{13}$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}-3x^{15}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x+\int -3x^{15}\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x-3\int x^{15}\mathrm{d}x$$

Rescrieți \frac{1}{\sqrt[3]{x}} ca x^{-\frac{1}{3}}. Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{-\frac{1}{3}}\mathrm{d}x cu \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}. Simplificați.

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2}-3\int x^{15}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{15}\mathrm{d}x cu \frac{x^{16}}{16}. Înmulțiți -3 cu \frac{x^{16}}{16}.

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2}-\frac{3x^{16}}{16}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{3}{2}\times 8^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{16}\times 8^{16}-\left(\frac{3}{2}\times 1^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{16}\times 1^{16}\right)$$

Simplificați.

$$-\frac{844424930131893}{16}$$