Rezolvați ∫ (from 0 to 2) of x(x^2-3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } x ( x ^ { 2 } - 3 ) ^ { 2 } d x$$

Evaluați

$$\frac{14}{3}\approx 4,666666667$$

Pașii soluției

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x^{2}-3\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-6x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$\int _{0}^{2}x\left(x^{4}-6x^{2}+9\right)\mathrm{d}x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x^{4}-6x^{2}+9.

$$\int _{0}^{2}x^{5}-6x^{3}+9x\mathrm{d}x$$

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int x^{5}-6x^{3}+9x\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\int -6x^{3}\mathrm{d}x+\int 9x\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x-6\int x^{3}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{5}\mathrm{d}x cu \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{6}}{6}-6\int x^{3}\mathrm{d}x+9\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}. Înmulțiți -6 cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{3x^{4}}{2}+9\int x\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 9 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{6}}{6}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{9x^{2}}{2}$$

Simplificați.

$$\frac{9x^{2}}{2}-\frac{3x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{6}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$\frac{9}{2}\times 2^{2}-\frac{3}{2}\times 2^{4}+\frac{2^{6}}{6}-\left(\frac{9}{2}\times 0^{2}-\frac{3}{2}\times 0^{4}+\frac{0^{6}}{6}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{14}{3}$$