Rezolvați ∫ (from - 4 to 3) of (12-x-x^2) wrt x

$$\int _ { - 4 } ^ { 3 } ( 12 - x - x ^ { 2 } ) d x$$

Evaluați

$$\frac{343}{6}\approx 57,166666667$$

Pașii soluției

Evaluați mai întâi integrala definită.

$$\int 12-x-x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 12\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$\int 12\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Găsiți integral 12 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$12x-\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$12x-\frac{x^{2}}{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți -1 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$12x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$$

Integrala definită este primitiva expresiei evaluată la limita superioară a integralei, minus primitiva evaluată la limita inferioară a integralei.

$$12\times 3-\frac{3^{2}}{2}-\frac{3^{3}}{3}-\left(12\left(-4\right)-\frac{\left(-4\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-4\right)^{3}}{3}\right)$$

Simplificați.

$$\frac{343}{6}$$