Rezolvați ∫ (2x^3-5x^2+7x-3) wrt x

$$\int ( 2 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } + 7 x - 3 ) d x$$

Evaluați

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{5x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}-3x+С$$

Pașii soluției

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int -5x^{2}\mathrm{d}x+\int 7x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x-5\int x^{2}\mathrm{d}x+7\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{3}\mathrm{d}x cu \frac{x^{4}}{4}. Înmulțiți 2 cu \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}-5\int x^{2}\mathrm{d}x+7\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți -5 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{5x^{3}}{3}+7\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}. Înmulțiți 7 cu \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{5x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}+\int -3\mathrm{d}x$$

Găsiți integral -3 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{5x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}-3x$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$\frac{x^{4}}{2}-\frac{5x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}-3x+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$2x^{3}-5x^{2}+7x-3$$