Rezolvați ∫ 18x^3+33x^2-40x-75/3x+5 wrt x

$$\int \frac { 18 x ^ { 3 } + 33 x ^ { 2 } - 40 x - 75 } { 3 x + 5 } d x$$

Evaluați

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x+С$$

Pașii soluției

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{18x^{3}+33x^{2}-40x-75}{3x+5}.

$$\int \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+5\right)^{2}}{3x+5}\mathrm{d}x$$

Reduceți prin eliminare 3x+5 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\int \left(2x-3\right)\left(3x+5\right)\mathrm{d}x$$

Extindeți expresia.

$$\int 6x^{2}+x-15\mathrm{d}x$$

Integrați suma, termen cu termen.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Eliminați constanta din fiecare dintre termeni.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x^{2}\mathrm{d}x cu \frac{x^{3}}{3}. Înmulțiți 6 cu \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

Deoarece \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pentru k\neq -1, înlocuiți \int x\mathrm{d}x cu \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

Găsiți integral -15 utilizând tabelul de reguli integrale comune \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x$$

Dacă F\left(x\right) este o primitiva de f\left(x\right), atunci setul tuturor antiderivatives de f\left(x\right) este dat de F\left(x\right)+C. Prin urmare, adăugați constanta de integrare C\in \mathrm{R} la rezultat.

$$-15x+\frac{x^{2}}{2}+2x^{3}+С$$

Calculați derivata în funcție de x

$$6x^{2}+x-15$$