Rezolvați 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Adunați 3 și 18 pentru a obține 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Adăugați 3x la ambele părți.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combinați x cu 3x pentru a obține 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=7 b=-3$$

Rescrieți -x^{2}+4x+21 ca \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Factor -x în primul și -3 în al doilea grup.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Adunați 3 și 18 pentru a obține 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Adăugați 3x la ambele părți.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combinați x cu 3x pentru a obține 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 4 și c cu 21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 16 cu 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±10}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x=-3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±10}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Împărțiți -14 la -2.

$$x=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-3 x=7$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Adunați 3 și 18 pentru a obține 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Adăugați 3x la ambele părți.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combinați x cu 3x pentru a obține 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Scădeți 21 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x-x^{2}=-21$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Împărțiți 4 la -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Împărțiți -21 la -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Adunați 21 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -3.

$$x=7$$