Rezolvați 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Înmulțiți -1 cu 2 pentru a obține -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2-2x cu 2+x și a combina termenii similari.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Pentru a găsi opusul lui -4-6x-2x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+x-2 cu 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Combinați 2x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Combinați 6x cu -3x pentru a obține 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

Adunați 5 și 6 pentru a obține 11.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu 11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Împărțiți -3+\sqrt{53} la -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{53} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Împărțiți -3-\sqrt{53} la -2.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Înmulțiți -1 cu 2 pentru a obține -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2-2x cu 2+x și a combina termenii similari.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Pentru a găsi opusul lui -4-6x-2x^{2}, găsiți opusul fiecărui termen.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Adunați 1 și 4 pentru a obține 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+x-2 cu 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Combinați 2x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Combinați 6x cu -3x pentru a obține 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

Scădeți 5 din -6 pentru a obține -11.

$$3x-x^{2}=-11$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Împărțiți -11 la -1.

$$x^{2}-3x=11$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Adunați 11 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$