Rezolvați x-17/x^2+2=-6

$$\frac { x - 17 } { x ^ { 2 } + 2 } = - 6$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -6 cu x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Adăugați 6x^{2} la ambele părți.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

Adunați -17 și 12 pentru a obține -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-5 b=6$$

Rescrieți 6x^{2}+x-5 ca \left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Scoateți factorul comun x din 6x^{2}-5x.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Scoateți termenul comun 6x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 6x-5=0 și x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -6 cu x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Adăugați 6x^{2} la ambele părți.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Adăugați 12 la ambele părți.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

Adunați -17 și 12 pentru a obține -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 1 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Adunați 1 cu 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±11}{12} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Reduceți fracția \frac{10}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±11}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Împărțiți -12 la 12.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -6 cu x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Adăugați 6x^{2} la ambele părți.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Adăugați 17 la ambele părți.

$$x+6x^{2}=-12+17$$

Adunați -12 și 17 pentru a obține 5.

$$x+6x^{2}=5$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+x=5$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Împărțiți \frac{1}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Adunați \frac{5}{6} cu \frac{1}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Scădeți \frac{1}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$