Rezolvați x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12, cel mai mic multiplu comun al 3,4.

$$4x+3y=48$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4, cel mai mic multiplu comun al 2,4.

$$2x-y=4$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x+3y=48$$

Scădeți 3y din ambele părți ale ecuației.

$$4x=-3y+48$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Înlocuiți x cu -\frac{3y}{4}+12 în cealaltă ecuație, 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Înmulțiți 2 cu -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Adunați -\frac{3y}{2} cu -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Scădeți 24 din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la -\frac{5}{2}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=8$$

Înlocuiți y cu 8 în x=-\frac{3}{4}y+12. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Înmulțiți -\frac{3}{4} cu 8.

$$x=-6+12$$

Adunați 12 cu -6.

$$x=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=6,y=8$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12, cel mai mic multiplu comun al 3,4.

$$4x+3y=48$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4, cel mai mic multiplu comun al 2,4.

$$2x-y=4$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=6,y=8$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12, cel mai mic multiplu comun al 3,4.

$$4x+3y=48$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4, cel mai mic multiplu comun al 2,4.

$$2x-y=4$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Pentru a egala 4x și 2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Simplificați.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Scădeți pe 8x-4y=16 din 8x+6y=96 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Adunați 8x cu -8x. Termenii 8x și -8x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$6y+4y=96-16$$

Adunați 6y cu 4y.

$$10y=96-16$$

Adunați 96 cu -16.

$$10y=80$$

Se împart ambele părți la 10.

$$y=8$$

Înlocuiți y cu 8 în 2x-y=4. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$2x-8=4$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$2x=12$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=6,y=8$$