Rezolvați x/2(x+5)-1/3(x-2)=0

$$\frac { x } { 2 } ( x + 5 ) - \frac { 1 } { 3 } ( x - 2 ) = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 2,3.

$$3x\left(x+5\right)-2\left(x-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x+5.

$$3x^{2}+15x-2\left(x-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$3x^{2}+15x-2x+4=0$$

Combinați 15x cu -2x pentru a obține 13x.

$$3x^{2}+13x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=3\times 4=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=1 b=12$$

Rescrieți 3x^{2}+13x+4 ca \left(3x^{2}+x\right)+\left(12x+4\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(12x+4\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(3x+1\right)+4\left(3x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+1=0 și x+4=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 2,3.

$$3x\left(x+5\right)-2\left(x-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x+5.

$$3x^{2}+15x-2\left(x-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$3x^{2}+15x-2x+4=0$$

Combinați 15x cu -2x pentru a obține 13x.

$$3x^{2}+13x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 13 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-12\times 4}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48}}{2\times 3}$$

Adunați 169 cu -48.

$$x=\frac{-13±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-13±11}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-13±11}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±11}{6} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 11.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±11}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -13.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Împărțiți -24 la 6.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{3} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6, cel mai mic multiplu comun al 2,3.

$$3x\left(x+5\right)-2\left(x-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x+5.

$$3x^{2}+15x-2\left(x-2\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$3x^{2}+15x-2x+4=0$$

Combinați 15x cu -2x pentru a obține 13x.

$$3x^{2}+13x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$3x^{2}+13x=-4$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+13x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Împărțiți \frac{13}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\left(\frac{13}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{169}{36}$$

Adunați -\frac{4}{3} cu \frac{169}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{121}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{13}{6}=\frac{11}{6} x+\frac{13}{6}=-\frac{11}{6}$$

Scădeți \frac{13}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{3} x=-4$$