Rezolvați x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+2x+1 cu x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-2x+1 cu x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combinați x^{5} cu -x^{5} pentru a obține 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combinați -x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combinați 2x^{4} cu 2x^{4} pentru a obține 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combinați -2x cu 2x pentru a obține 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combinați x^{3} cu -x^{3} pentru a obține 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Scădeți 1 din -1 pentru a obține -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6 cu x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x^{2}-12x+6 cu x^{2}+2x+1 și a combina termenii similari.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Scădeți 6x^{4} din ambele părți.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Combinați 4x^{4} cu -6x^{4} pentru a obține -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Adăugați 12x^{2} la ambele părți.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Combinați -2x^{2} cu 12x^{2} pentru a obține 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Scădeți 6 din -2 pentru a obține -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Înlocuiți x^{2} cu t.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu -2, b cu 10 și c cu -8.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{-10±6}{-4} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=1 t=4$$

De la x=t^{2}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea x=±\sqrt{t} pentru fiecare t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,-1.

$$x=-2 x=2$$