Rezolvați x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combinați 2x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combinați 4x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combinați 4x cu -5x pentru a obține -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=-2$$

Rescrieți -x^{2}-x+2 ca \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combinați 2x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combinați 4x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combinați 4x cu -5x pentru a obține -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -1 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±3}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 3.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Împărțiți 4 la -2.

$$x=-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±3}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Împărțiți -2 la -2.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-2 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combinați 2x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combinați 4x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combinați 4x cu -5x pentru a obține -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-x^{2}-x=-2$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

Împărțiți -1 la -1.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

Împărțiți -2 la -1.

$$x^{2}+x=2$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-2$$