Rezolvați t/t+3+4t/t-3-18/t^2-9

$$\frac { t } { t + 3 } + \frac { 4 t } { t - 3 } - \frac { 18 } { t ^ { 2 } - 9 }$$

Evaluați

$$\frac{5t-6}{t-3}$$

Pașii soluției scurte

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui t+3 și t-3 este \left(t-3\right)\left(t+3\right). Înmulțiți \frac{t}{t+3} cu \frac{t-3}{t-3}. Înmulțiți \frac{4t}{t-3} cu \frac{t+3}{t+3}.

$$\frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}+\frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Deoarece \frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} și \frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Faceți înmulțiri în t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right).

$$\frac{t^{2}-3t+4t^{2}+12t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Combinați termeni similari în t^{2}-3t+4t^{2}+12t.

$$\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9}$$

Descompuneți în factori t^{2}-9.

$$\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}$$

Deoarece \frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} și \frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}.

$$\frac{\left(5t-6\right)\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}$$

Reduceți prin eliminare t+3 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{5t-6}{t-3}$$

Calculați derivata în funcție de t

$$-\frac{9}{\left(t-3\right)^{2}}$$

Pași folosind regula de derivare pentru cât

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui t+3 și t-3 este \left(t-3\right)\left(t+3\right). Înmulțiți \frac{t}{t+3} cu \frac{t-3}{t-3}. Înmulțiți \frac{4t}{t-3} cu \frac{t+3}{t+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}+\frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Deoarece \frac{t\left(t-3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} și \frac{4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Faceți înmulțiri în t\left(t-3\right)+4t\left(t+3\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{t^{2}-3t+4t^{2}+12t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Combinați termeni similari în t^{2}-3t+4t^{2}+12t.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{t^{2}-9})$$

Descompuneți în factori t^{2}-9.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}-\frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)})$$

Deoarece \frac{5t^{2}+9t}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} și \frac{18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)})$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{5t^{2}+9t-18}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\left(5t-6\right)\left(t+3\right)}{\left(t-3\right)\left(t+3\right)})$$

Reduceți prin eliminare t+3 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{5t-6}{t-3})$$

Pentru orice două funcții diferențiabile, derivata câtului celor două funcții este numitorul înmulțit cu derivata numărătorului, minus numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, totul împărțit la numitorul la pătrat.

$$\frac{\left(t^{1}-3\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(5t^{1}-6)-\left(5t^{1}-6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t^{1}-3)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$\frac{\left(t^{1}-3\right)\times 5t^{1-1}-\left(5t^{1}-6\right)t^{1-1}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Faceți calculele.

$$\frac{\left(t^{1}-3\right)\times 5t^{0}-\left(5t^{1}-6\right)t^{0}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Extindeți folosind proprietatea de distributivitate.

$$\frac{t^{1}\times 5t^{0}-3\times 5t^{0}-\left(5t^{1}t^{0}-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceleași baze, adunați exponenții lor.

$$\frac{5t^{1}-3\times 5t^{0}-\left(5t^{1}-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Faceți calculele.

$$\frac{5t^{1}-15t^{0}-\left(5t^{1}-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Eliminați parantezele inutile.

$$\frac{5t^{1}-15t^{0}-5t^{1}-\left(-6t^{0}\right)}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Combinați termenii asemenea.

$$\frac{\left(5-5\right)t^{1}+\left(-15-\left(-6\right)\right)t^{0}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Scădeți 5 din 5 și -6 din -15.

$$\frac{-9t^{0}}{\left(t^{1}-3\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\frac{-9t^{0}}{\left(t-3\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\frac{-9}{\left(t-3\right)^{2}}$$