Rezolvați 81/41-y+15=71/y

$$\frac { 81 } { 41 - y } + 15 = \frac { 71 } { y }$$

Rezolvați pentru y

$$y = \frac{\sqrt{413629} + 767}{30} \approx 47,004665122$$

$$y = \frac{767 - \sqrt{413629}}{30} \approx 4,128668211$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila y nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,41, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu y\left(y-41\right), cel mai mic multiplu comun al 41-y,y.

$$-y\times 81+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Înmulțiți -1 cu 81 pentru a obține -81.

$$-81y+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y cu y-41.

$$-81y+\left(y^{2}-41y\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y^{2}-41y cu 15.

$$-81y+15y^{2}-615y=\left(y-41\right)\times 71$$

Combinați -81y cu -615y pentru a obține -696y.

$$-696y+15y^{2}=\left(y-41\right)\times 71$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y-41 cu 71.

$$-696y+15y^{2}=71y-2911$$

Scădeți 71y din ambele părți.

$$-696y+15y^{2}-71y=-2911$$

Combinați -696y cu -71y pentru a obține -767y.

$$-767y+15y^{2}=-2911$$

Adăugați 2911 la ambele părți.

$$-767y+15y^{2}+2911=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$15y^{2}-767y+2911=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 15, b cu -767 și c cu 2911 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{\left(-767\right)^{2}-4\times 15\times 2911}}{2\times 15}$$

Ridicați -767 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-4\times 15\times 2911}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -4 cu 15.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-60\times 2911}}{2\times 15}$$

Înmulțiți -60 cu 2911.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-174660}}{2\times 15}$$

Adunați 588289 cu -174660.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{413629}}{2\times 15}$$

Opusul lui -767 este 767.

$$y=\frac{767±\sqrt{413629}}{2\times 15}$$

Înmulțiți 2 cu 15.

$$y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30} atunci când ± este plus. Adunați 767 cu \sqrt{413629}.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{413629} din 767.

$$y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30} y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila y nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,41, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu y\left(y-41\right), cel mai mic multiplu comun al 41-y,y.

$$-y\times 81+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Înmulțiți -1 cu 81 pentru a obține -81.

$$-81y+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y cu y-41.

$$-81y+\left(y^{2}-41y\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y^{2}-41y cu 15.

$$-81y+15y^{2}-615y=\left(y-41\right)\times 71$$

Combinați -81y cu -615y pentru a obține -696y.

$$-696y+15y^{2}=\left(y-41\right)\times 71$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți y-41 cu 71.

$$-696y+15y^{2}=71y-2911$$

Scădeți 71y din ambele părți.

$$-696y+15y^{2}-71y=-2911$$

Combinați -696y cu -71y pentru a obține -767y.

$$-767y+15y^{2}=-2911$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}-767y=-2911$$

Se împart ambele părți la 15.

$$\frac{15y^{2}-767y}{15}=-\frac{2911}{15}$$

Împărțirea la 15 anulează înmulțirea cu 15.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y=-\frac{2911}{15}$$

Împărțiți -\frac{767}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{767}{30}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{767}{30} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\left(-\frac{767}{30}\right)^{2}=-\frac{2911}{15}+\left(-\frac{767}{30}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{767}{30} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}=-\frac{2911}{15}+\frac{588289}{900}$$

Adunați -\frac{2911}{15} cu \frac{588289}{900} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}=\frac{413629}{900}$$

Factor y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{767}{30}\right)^{2}=\frac{413629}{900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{767}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{413629}{900}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{767}{30}=\frac{\sqrt{413629}}{30} y-\frac{767}{30}=-\frac{\sqrt{413629}}{30}$$

Adunați \frac{767}{30} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30} y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$