Rezolvați 5x/x^2-4x-21-3/x-7+4/x+3

$$\frac { 5 x } { x ^ { 2 } - 4 x - 21 } - \frac { 3 } { x - 7 } + \frac { 4 } { x + 3 }$$

Evaluați

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Pașii soluției scurte

Descompuneți în factori x^{2}-4x-21.

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(x-7\right)\left(x+3\right) și x-7 este \left(x-7\right)\left(x+3\right). Înmulțiți \frac{3}{x-7} cu \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Deoarece \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} și \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Faceți înmulțiri în 5x-3\left(x+3\right).

$$\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Combinați termeni similari în 5x-3x-9.

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(x-7\right)\left(x+3\right) și x+3 este \left(x-7\right)\left(x+3\right). Înmulțiți \frac{4}{x+3} cu \frac{x-7}{x-7}.

$$\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Deoarece \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} și \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Faceți înmulțiri în 2x-9+4\left(x-7\right).

$$\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Combinați termeni similari în 2x-9+4x-28.

$$\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}$$

Extindeți \left(x-7\right)\left(x+3\right).

$$\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21}$$

Calculați derivata în funcție de x

$$\frac{2\left(-3x^{2}+37x-137\right)}{\left(\left(x-7\right)\left(x+3\right)\right)^{2}}$$

Pași folosind regula de derivare pentru cât

Descompuneți în factori x^{2}-4x-21.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3}{x-7}+\frac{4}{x+3})$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(x-7\right)\left(x+3\right) și x-7 este \left(x-7\right)\left(x+3\right). Înmulțiți \frac{3}{x-7} cu \frac{x+3}{x+3}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Deoarece \frac{5x}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} și \frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3\left(x+3\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Faceți înmulțiri în 5x-3\left(x+3\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-3x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Combinați termeni similari în 5x-3x-9.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4}{x+3})$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(x-7\right)\left(x+3\right) și x+3 este \left(x-7\right)\left(x+3\right). Înmulțiți \frac{4}{x+3} cu \frac{x-7}{x-7}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)}+\frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

Deoarece \frac{2x-9}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} și \frac{4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4\left(x-7\right)}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

Faceți înmulțiri în 2x-9+4\left(x-7\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x-9+4x-28}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

Combinați termeni similari în 2x-9+4x-28.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{\left(x-7\right)\left(x+3\right)})$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-7 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x-37}{x^{2}-4x-21})$$

Pentru orice două funcții diferențiabile, derivata câtului celor două funcții este numitorul înmulțit cu derivata numărătorului, minus numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, totul împărțit la numitorul la pătrat.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(6x^{1}-37)-\left(6x^{1}-37\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-4x^{1}-21)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{1-1}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{2-1}-4x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Înmulțiți x^{2}-4x^{1}-21 cu 6x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}-37\right)\left(2x^{1}-4x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Înmulțiți 6x^{1}-37 cu 2x^{1}-4x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}-4x^{1}\times 6x^{0}-21\times 6x^{0}-\left(6x^{1}\times 2x^{1}+6x^{1}\left(-4\right)x^{0}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceleași baze, adunați exponenții lor.

$$\frac{6x^{2}-4\times 6x^{1}-21\times 6x^{0}-\left(6\times 2x^{1+1}+6\left(-4\right)x^{1}-37\times 2x^{1}-37\left(-4\right)x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{6x^{2}-24x^{1}-126x^{0}-\left(12x^{2}-24x^{1}-74x^{1}+148x^{0}\right)}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Combinați termenii asemenea.

$$\frac{-6x^{2}+74x^{1}-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x^{1}-21\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\frac{-6x^{2}+74x-274x^{0}}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\frac{-6x^{2}+74x-274}{\left(x^{2}-4x-21\right)^{2}}$$